Arrancamos primero con los límites cuando $x$ tiende a $-1$ por derecha y por izquierda:

$\lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} $

En este caso el numerador tiende a $6$ y el denominador tiende a $0$ ¿por derecha o por izquierda? Si te cuesta darte cuenta, como te comenté en la clase, literalmente poné en la calculadora un $-1$ por derecha, es decir, algo como $-0.9999...$, elevalo al cuadrado y restale $1$... Vas a ver que te va a quedar un número muy parecido al cero, pero negativo ;) Por lo tanto,

$\lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = - \infty$

Ahora, mismo razonamiento para el límite cuando $x$ tiende a $-1$ por izquierda y nos queda...

$\lim _{x \rightarrow -1^-} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = + \infty$

Bueno, ahora viene el momento problemático, que es cuando tomamos límite cuando $x$ tiende a $1$. Veamos lo que pasa:

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} $

Chan, tenemos un "cero sobre cero". Eso es una indeterminación y tenemos que salvarla. Como te comenté en la primera clase de límites, a lo largo de la materia este tipo de indeterminaciones las vamos a salvar usando la Regla de L'Hopital, pero como todavía acá no la vimos tendríamos que usar otra forma. Salvar este límite con L'Hopital sale casi a ojo (confía en mi jaja). La manera de salvarlo en este momento sería factorizando las expresiones del numerador y denominador y esperando que algo que se me cancele. En este caso numerador y denominador se factorizan así:

$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2(x - \frac{1}{2})(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} $ Cancelamos los $(x-1)$ $ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{1}{2}$ 

Son funciones cuadráticas, para factorizarlas buscás las raíces y las escribís en forma factorizada como vimos en la clase de función cuadrática. No es difícil, pero te repito, esta indeterminación se salva mucho más rápido con L'Hopital y sin tener que factorizar nada. 

$ \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = 2 $